Краткая характеристика векторов. Векторы, определение, действия над векторами, их свойства

23.09.2019

Линейная зависимость векторов.

Определение. Векторы
называются линейно зависимыми , если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно  i , т.е.
.

Если же только при  i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

Свойство 1. Если среди векторов есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

Система координат.

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор
назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат . Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат .

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), то
= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1).

Определение. Базис называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат .

Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда
.

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

;

 3 =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” можно запустить программу, которая позволит разложить любой вектор по любому новому базису, т.е. решить предыдущий пример для любых векторов , , , .

Для запуска программы дважды щелкните по значку:

В открывшемся окне программы введите координаты векторов и нажмитеEnter.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении  /  , считая от А, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x 1 + x 2)/2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.

Определение Упорядоченную совокупность (x 1 , x 2 , ... , x n) n вещественных чисел называют n-мерным вектором , а числа x i (i = ) - компонентами, или координатами,

Пример. Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, a или . Два вектора называются равными , если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) и (2, 3, 5, 0, 1) разные вектора.
Операции над векторами. Произведением x = (x 1 , x 2 , ... ,x n) на действительное число λ называется вектор λ x = (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

Суммой x = (x 1 , x 2 , ... ,x n) и y = (y 1 , y 2 , ... ,y n) называется вектор x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Пространство векторов. N -мерное векторное пространство R n определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров ). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

x = (x 1 , x 2 , ..., x n),

где через x i обозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров C = { x = (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = }.

Линейная независимость. Система e 1 , e 2 , ... , e m n-мерных векторов называется линейно зависимой , если найдутся такие числа λ 1 , λ 2 , ... , λ m , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство λ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой , то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все . Геометрический смысл линейной зависимости векторов в R 3 , интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны (параллельны).

Теорема 3 . Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны (лежали в одной плоскости).

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой , если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, c в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. B противном случае a, b, c - левая тройка . Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка e 1, e 2 , e 3 некомпланарных векторов в R 3 называется базисом , а сами векторы e 1, e 2 , e 3 - базисными . Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде

а = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

числа x 1 , x 2 , x 3 в разложении (1.1) называются координатами a в базисе e 1, e 2 , e 3 и обозначаются a (x 1 , x 2 , x 3).

Ортонормированный базис. Если векторы e 1, e 2 , e 3 попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным , а координаты x 1 , x 2 , x 3 - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R 3 выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k }.

Векторное произведение. Векторным произведением а на вектор b называется вектор c , который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е.
c = |a||b| sin (a ^b ).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a, b и c , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ab ] или
c = a × b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b ) = 0 и [ab ] = 0, в частности, [aa ] = 0. Векторные произведения ортов: [ij ]= k, [jk ] = i , [ki ]= j .

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a (a 1 , a 2 , a 3), b (b 1 , b 2 , b 3), то

Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов а и b скалярноумножается на третий вектор c, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом a b c.

Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы своими координатами
a (a 1 , a 2 , a 3), b (b 1 , b 2 , b 3), c (c 1 , c 2 , c 3), то

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование - это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка a, b, c - левая, то a b c <0 и V = - a b c , следовательно V = |a b c| .

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору а, обозначается символом а о. Символом r =ОМ обозначается радиус-вектор точки М, символами а, АВ или |а| , | АВ| обозначаются модули векторов а и АВ.

Пример 1.2. Найдите угол между векторами a = 2m +4n и b = m-n , где m и n - единичные векторы и угол между m и n равен 120 о.

Решение . Имеем: cos φ = ab /ab, ab = (2m +4n ) (m-n ) = 2 m 2 - 4n 2 +2mn =
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m +4n ) (2m +4n ) =
= 4 m 2 +16mn +16 n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, значит a = . b = ; b 2 =
= (m-n )(m-n ) = m 2 -2mn + n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, значит b = . Окончательно имеем: cos φ = = -1/2, φ = 120 o .

Пример 1.3. Зная векторы AB (-3,-2,6) и BC (-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC.

Решение . Обозначая площадь треугольника ABC через S, получим:
S = 1/2 BC AD. Тогда AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB × AC| . AC=AB+BC , значит, вектор AC имеет координаты
. .

Пример 1.4 . Даны два вектора a (11,10,2) и b (4,0,3). Найдите единичный вектор c, ортогональный векторам a и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов a, b, c была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора c относительно данного правого ортонормированного базиса через x, y, z.

Поскольку c ⊥ a, c ⊥ b , то ca = 0, cb = 0. По условию задачи требуется, чтобы c = 1 и a b c >0.

Имеем систему уравнений для нахождения x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Из первого и второго уравнений системы получим z = -4/3 x, y = -5/6 x. Подставляя y и z в третье уравнение, будем иметь: x 2 = 36/125, откуда
x = ± . Используя условие a b c > 0, получим неравенство

С учетом выражений для z и y перепишем полученное неравенство в виде: 625/6 x > 0, откуда следует, что x>0. Итак, x = , y = - , z =- .

Современная серия комбайнов «Вектор» от компании «Ростсельмаш» была создана специально для удовлетворения потребностей средних и небольших фермерских хозяйств, коих в России большинство в нынешних экономических реалиях. Модель «Vector-410» является готовым и оптимальным решением именно для полей небольшой площади. При средней сезонной наработке в 750 га, невысокой стоимости владения, достойных показателях экономичности эта сельхозмашина является, на сегодняшний день, наиболее эффективным и актуальным средством для решения задач малого и среднего сельскохозяйственного бизнеса.

Место комбайна «Vector-410» в линейке продукции «Ростсельмаша»

Комбайн «Вектор» можно назвать «младшим братом» другого современного ростовского комбайна – «Акрос». Оба семейства относятся к однобарабанному типу зерноуборочных сельхозмашин. «Акрос» – новый комбайн пятого класса, а «Вектор» – четвёртого. Модификация «Vector-410» – это комбайн, оснащённый практически тем же оборудованием, что и «Acros»ы, но гораздо более компактный и экономичный в использовании.

В целом, с позиций экономической эффективности, комбайны «Акрос» требуют большего размаха и больших площадей за сезон, чем «Векторы». У «Вектора» менее мощный (но и более экономичный) двигатель, меньший объём бункера и меньшая производительность. Его стихия – небольшие крестьянские хозяйства, там его применение наиболее целесообразно и экономически выгодно.

Первым в серийное производство на «Ростсельмаше» пошёл , в мае 2007 года. «Вектор-410» последовал за ним, в 2009 году. Эта разработка конструкторского бюро «Ростсельмаша» также стала совершенно новым проектом, созданным «с нуля», с учётом всех современных тенденций в мировом комбайностроении.

«Vector-410» (проектное название РСМ-101) был впервые в истории отечественного производства сельхозтехники разработан не посредством бумажных чертежей, а в электронной системе сквозного проектирования. Такой подход помог в создании действительно современной, во всех отношениях конкурентоспособной сельхозмашины. Не последнюю роль в процессе запуска в серию данной модели сыграло чёткое и осознанное ориентирование на потребности рынка.

В этом смысле, он был призван удовлетворить потребности малых и средних фермерских хозяйств. Для которых приобретение более мощной и производительной техники, особенно импортного производства, является слишком «дорогим удовольствием.

С другой стороны, и продолжать далее использовать многократно выработавшие свой ресурс , и прочие комбайны советской эпохи – это значит постоянно вкладывать средства в ремонт давно и изрядно «уставшей» сельхозмашины. Причём средства не только денежные, но и временные. А ведь во время страды каждый день и даже час имеет особое значение.

Габаритные размеры комбайна «Вектор-410» несколько меньше «акросовских». В транспортном положении, без жатки они составляют:

Длина х Ширина х Высота (в мм): 7938 х 3559 х 4010. Длина с жаткой – 12 метров.

Разгрузка полного бункера на «Векторе» занимает всего 2 минуты.

При этом бункер, расположенный сразу за кабиной и имеющий объём в 4,5 кубических метров, может увеличиваться в высоту, расширяя соответственно и объём, до шести «кубов». Раскрытие бункера в высоту происходит с помощью электромеханизма. Покидать кабину для этого механизатору не требуется.

Объём бункера – от 4,5 до 6 кубических метров.
Скорость выгрузки зерна из бункера в кузов автомашины – 42 литра в секунду.
Высота выгрузки зерна из бункера – 3475 мм.
Масса комбайна «Вектор-410» (без жатки) составляет 11075 (+/-300) кг.

Важным преимуществом комбайна «Vector-410» (и прочих «Векторов» тоже) является то, что в своём классе только он может производить подобное разнообразие схем работы с незерновой частью урожая.

Солому можно не только измельчать, разбрасывая по полю, но и собирать для заготовки кормов КРС, укладывая в аккуратные валки или в копны. Поскольку «Вектор-410» можно при необходимости укомплектовать копнителем формирования, с подпрессовкой, ёмкость которого – 12 кубических метров. Это устройство собирает солому в плотные копны и автоматически выгружает их прямо на ходу.

Двигатель комбайна «Вектор-410»

Комбайны «Вектор-410» комплектуются дизельным турбированным двигателем Ярославского моторного завода, марки . Это шестицилиндровый четырёхтактный V-образный дизель с турбонаддувом, жидкостным охлаждением, жидкостно-масляным теплообменником, механическим регулятором частоты вращения, с промежуточным охлаждением наддувочного воздуха в теплообменнике типа «воздух-воздух», установленном на изделии.

Необходимо отметить, что данные моторы были разработаны и запущены в серию именно для установки на ростовские комбайны семейства «Вектор», в рамках долгосрочного сотрудничества «Ростсельмаша» с «Ярославскими моторами».

Мощность двигателя «ЯМЗ 236-НД» составляет 210 лошадиных сил, или 154,5 килоВатт.
Габаритные размеры мотора (Длина х Ширина х Высота), в мм: 1210 х 1045 х 1100.
Масса двигателя – 985 кг.
Частота вращения, мин-1: 1900.
Максимальный крутящий момент, Н.м (кгс.м): 882 (90).
Частота при максимальном крутящем моменте, мин-1: 1200-1400

Турбированный дизель ЯМЗ 236-НД.

Важной особенностью этого современного экономичного дизельного турбированного мотора является дополнительный запас мощности. Он позволяет обеспечить все необходимые технологические процессы при любых условиях. При интенсивных и пиковых нагрузках данный двигатель обеспечивает дополнительный прирост мощности от пятнадцати до двадцати процентов.

Расход топлива, экономическая эффективность, удобство обслуживания

Как известно, стоимость потребляемого топлива – основная и самая значительная статья расходов на содержание комбайна. В связи с этим, «Ростсельмаш» позиционирует «Вектор-410» как чрезвычайно экономичный комбайн с одним из самых низких в своём классе показателем эксплуатационного расхода горючего – от 1,8 до 2,5 л солярки на каждую тонну намолоченного зерна.

Вкупе с «просторным» топливным баком на 540 литров, достигается превосходный результат, так сказать, «эксплуатационной логистики» – не менее 16 часов непрерывной работы без необходимости дополнительной заправки комбайна. Таким образом, две полных восьмичасовых смены «Vector-410» трудится без дозаправки.

Комбайны «Вектор» также комплектуются воздушным компрессором с ресивером на 110 литров. С его помощью можно, при необходимости, проводить ежесменное обслуживание комбайна прямо в поле. Система обеспечивает продолжительность работы компрессора в течение пяти минут при заглушенном двигателе.

Как и в «Акросе», двигатель в «Векторе-410» располагается сзади, сразу за бункером и скомпонован таким образом, чтобы обеспечить максимальную доступность всех необходимых деталей и узлов при проведении технического обслуживания.

Комбайны «Вектор» оснащаются гидростатической трансмиссией «ГСТ-112», обеспечивающей бесступенчатую регулировку скорости движения сельхозмашины в пределах каждой из трёх передач. Диапазон рабочих скоростей достаточно широк для того, чтобы обеспечить оптимизацию загрузки МСУ (молотильно-сепарирующего устройства).

«Вектор-410» на уборке урожая.

Гидростатическая трансмиссия переключает скорости исключительно плавно, что способствует более качественной уборке сложных и проблемных участков хлебных полей. Скорость движения комбайна «Вектор-410» – до 25 километров в час.

Тип шин ведущих колёс – 28L/R26.
Тип шин управляемых колёс – 18,4/R24.

В качестве дополнительных опций, комбайн «Vector-410» выпускается в полноприводной версии, а также может комплектоваться сменным полугусеничным ходом. Полноприводная модификация и шасси на гусеничном ходу являются хорошим подспорьем и реальной помощью при работе на топких и заболоченных почвах, а также не уборке риса.

Гидравлическая система комбайна «Вектор-410»

Силовые гидронасосы трёх систем (основной, рулевого управления, ходовой части) объединены на «Векторе-410» в единый блок насосной станции. Рабочая жидкость для всех систем едина и заливается в общий 50-литровый гидробачок.

Гидрораспределители отличаются большим количеством секций и выведены в легкодоступные зоны. В отличие от «Акросов», на которых используется импортная гидравлика (немецкого производства), все элементы гидросистемы «Векторов» поставляются отечественных предприятий, в том числе с некоторых авиационных и оборонных заводов.

Технология изготовления гидросистем для «Вектор-410» предусматривает тщательную предварительную очистку внутренних поверхностей трубопроводов на специальном оборудовании. Для увеличения надёжности гидравлики в «Векторах» отказались от паяных соединений. Взамен были применены соединения трубопроводов при помощи врезающихся колец. Изменили также трассировку трубопроводов. В гидросистеме данных комбайнов использованы фторкаучуковые уплотнения, которые обладают меньшей степенью усадки и на порядок долговечнее обычных. А вместо литых заготовок для гидро-арматуры установлены штампованные.

Механизаторы былых времён даже в самых смелых мечтах не могли себе представить большего комфорта и удобства работы, которые предоставляет современная эргономичная кабина «Comfort Cab» на «Акросах» и «Векторах».

Рабочее место комбайнера надежно защищено от шума, вибрации и проникновения пыли. С помощью продвинутых систем кондиционирования, отопления и вентиляции в кабине можно создать чрезвычайно здоровый и комфортный для самочувствия микроклимат, не зависящий от температуры «за бортом».

В стандартную комплектацию кабины входит аудиоподготовка. А именно: акустическая система, антенна, готовое посадочное место для магнитолы (достаточно лишь соединить стандартные разъёмы). Удобное, подрессоренное рабочее кресло снабжено целой серией необходимых настроек. Есть возможность отрегулировать сиденье в соответствии с индивидуальными особенностями и полностью сосредоточиться на уборке. Имеется и полноценное (мягкое) откидное сиденье для штурвального.

Рамзан Кадыров за рулём комбайна «Вектор-410».

«Подогнать под себя» рабочее место поможет и регулируемая как по высоте, так и по уровню наклона рулевая колонка. Огромная площадь остекления кабины обеспечивает превосходный обзор во все стороны. Совсем рядом, на расстоянии вытянутой руки, находится прохладный напиток – для этого предусмотрен специальный охлаждающий отсек.

Основной элемент управления комбайном выполнен в виде многофункционального джойстика-манипулятора, расположенного на «заточенную» под естественный захват ладони рукоятке. В серийной комплектации кабина «Вектор-410» оснащена специальной системой голосового оповещения «Adviser» («Советник»), которая призвана следить за обмолотом и всем техпроцессом в целом, подавая голосовые сигналы для предотвращения выхода из строя деталей и узлов комбайна.

Жатка комбайна «Вектор-410»

Как и «Акрос», комбайн «Вектор-410» оснащается ростсельмашевской универсальной унифицированной жаткой для зерновых культур, под названием «Power Stream» («Сильный поток»). Ширина захвата жаток этой серии – 5,6,7 или 9 метров.

Все жатки «Пауэр Стрим» стандартно оснащаются простой и надёжной гидромеханической системой копирования рельефа поверхности поля «Level Glide» («Скользящий уровень»). Качественный срез обеспечивает планетарный привод ножей «Шумахер». Этот редуктор прекрасно себя зарекомендовал на «Акросах», где он сперва устанавливался только в качестве дополнительной опции, на «Векторах» входит в стандартную комплектацию.

Высокоинерционный барабан обмолота, по утверждению «Ростсельмаша», обладает самым большим диаметром в мире – 800 мм. Он отличается бережным отношением к зерну, практически полной (95%) сепарацией и непревзойдённой приспособленностью к трудным и проблемным хлебам: скрученным, увлажнённым, засоренным и т.п.

Прошедшая проверку временем система остаточной сепарации, состоящая из четырёхклавишного семикаскадного соломотряса, и эффективная двух-ступенчатая система очистки с автономным устройством домолота обеспечивают минимальные потери зерна с соломой и половой, а также его чистоту. Зерно, попадающее в итоге в бункер, имеет превосходные показатели по чистоте и по количеству сечки. При нормальной влажности, оно уже является готовым к реализации.

В этой статье мы рассмотрим операции, которые можно производить с векторами на плоскости и в пространстве. Далее мы перечислим свойства операций над векторами и обоснуем их с помощью геометрических простроений. Также покажем применение свойств операций над векторами при упрощении выражений, содержащих векторы.

Для более качественного усвоения материала рекомендуем освежить в памяти понятия, данные в статье векторы - основные определения .

Навигация по странице.

Операция сложения двух векторов - правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов .

Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника .

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B - это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор .

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника . Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число .

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в раз при 0 < k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами . Некоторые из них очевидны.

Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.

Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и есть сумма векторов и .

Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.

Разберем на примере.