Методика обучения решению задач на пропорциональное деление. Задачи на пропорциональное деление

§ 138. Деление числа на части прямо пропорционально данным числам.

Задача. В саду на двух участках посажено 224 штуки рассады клубники. Определить, сколько штук рассады посажено на каждом участке, если площадь первого участка 8 кв. м, а площадь второго 24 кв. м. (На каждом квадратном метре земли сажают рассаду в среднем поровну.)

Будем решать эту задачу так. Сначала определим площадь двух участков вместе:

8 + 24 = 32 (кв. м).

Итак, площадь двух участков вместе 32 кв. м. Определим теперь, сколько штук рассады приходится на 1 кв. м:

224: 32 = 7 (штук).

Зная сколько рассады приходится на 1 кв. м, мы легко вычислим число штук рассады на 8 кв. м и на 24 кв.. м, т. е. ответим на вопрос задачи:

7 8 = 56 (штук);

7 24 = 168 (штук).

Подумаем теперь, какие величины входят в нашу задачу и как они связаны между собой. В условие задачи входят две величины: 1) количество штук рассады, 2) площадь участка. Эти две величины прямо пропорциональны одна другой, потому что, чем больше площадь участка, тем больше на нём можно посадить рассады. Расположим числа, с которыми мы имели дело в задаче, так, чтобы их удобно было сравнивать:

8 кв. м - 56 штук
24 кв. м - 168 штук

Из этой таблички видно, что второй участок втрое больше первого и рассады на нём в три раза больше, чем на первом.

Итак, в этой задаче мы разделили число штук рассады пропорционально площадям двух участков. Это и есть одна из возможных задач на пропорциональное деление. Как же решаются такие задачи? В задаче требовалось число 224 разделить на две части, пропорциональные числам 8 и 24, т. е. разделить это число на такие две части, которые относились бы между собой так же, как 8: 24. Обозначим величину первой части буквой х , а второй части - у и напишем отношение этих частей:

Для нахождения этих частей были выполнены следующие действия. Число 224 разделили на сумму чисел 8 и 24 и затем найденное частное последовательно умножили сначала на 8, а потом на 24, т. е.

Словами эти равенства можно высказать так: чтобы разделить некоторое число на части пропорционально данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и полученное частное последовательно умножить на каждое из этих чисел.

Рассмотрим другую задачу: «За три куска мыла одного и того же сорта заплатили 40 руб, Сколько заплатили за каждый из них, если первый кусок весил 2 кг, второй 3 кг и третий 5 кг?»

В этой задаче требуется разделить 40 руб. на 3 части пропорционально весу отдельных кусков мыла. Обозначим стоимость первого куска буквой х , второго куска - у и третьего - z .

Воспользуемся правилом, выведенным при решении первой задачи. Согласно этому правилу для нахождения искомых чисел необходимо число, подлежащее делению, разделить на сумму данных чисел и полученное частное умножить последовательно на каждое из них. Следовательно:

Таким образом, первый кусок мыла стоит 8 руб., второй 12 руб. и третий 20 руб. Найденные числа рублей х, у, z находятся между собой в таких же отношениях, как и данные в задаче числа весовых единиц, т. е.

х: у: z = 8: 12: 20 = 2: 3: 5.

Рассмотрим теперь задачу с отвлечёнными числами. Разделить число 180 на три части пропорционально числам 3; 5; 7. Иными словами: в этой задаче требуется разложить число 180 на такие три слагаемых, чтобы первое относилось ко второму, как 3 к 5, второе относилось к третьему, как 5 к 7 и, наконец, первое к третьему, как 3 к 7. Сокращённо это можно написать так:

х: у: z = 3: 5: 7,

где х, у, z обозначают соответственно первое, второе и третье число.

Применяя указанное выше правило, можем написать:

Полученные три числа удовлетворяют условию задачи: они в сумме составляют 180, т. е.

36 + 60 + 84 = 180 и 3: 5: 7 = 36: 60: 84.

Мы решили три задачи на пропорциональное деление. Покажем теперь другие способы решения таких задач.

Задача 1. Определить квартирную плату за каждую из двух комнат (8 кв. м и 24 кв. м), если за обе вместе нужно заплатить 64 руб.

Обозначим плату за 1 кв. м буквой х ; тогда за первую комнату нужно будет заплатить 8x , а за вторую - 24x . Значит, за обе комнаты вместе надо заплатить 8х + 24х , что составляет 64 руб. Следовательно, можно записать равенство:

8х + 24х = 64.

32x = 64;

х = 64: 32 = 2 (руб.).

2 8 = 16 (руб.);

2 24 = 48 (руб.).

Задача 2. Найти стоимость каждого из трёх пакетов муки, если все три пакета стоят 40 руб., а вес первого 2 кг, второго 3 кг и третьего 5 кг.

Обозначим цену одного килограмма буквой х , тогда:

2 кг будут стоить 2х;

3 кг » » 3х ;

5 кг » » 5х ;

а вся мука будет стоить:

2х + 3х + 5х = 40.

10х = 40; х = 40: 10 = 4 (руб.).

После этого легко определить стоимость каждого пакета;

2х = 2 4 = 8 (руб.);

3х = 3 4 = 12 (руб.);

5х = 5 4 = 20 (руб.).

Задача 3. Разделить число 1 800 на три слагаемых пропорционально числам: 3, 5 и 7.

Рассуждаем так: в первом слагаемом 3 части, во втором 5 и в третьем 7.

Обозначая величину одной части буквой х , можно написать:

3х + 5х + 7х =1 800.

15х = 1 800; х = 1 800: 15 = 120.

Следовательно:

3х = 3 120 = 360;

5х = 5 120 = 600;

7х = 7 120=840.

Решим теперь задачу, в которой "некоторое число придётся разделить на четыре части пропорционально дробным числам.

Задача. Разделить 968 на четыре части пропорционально числам: 2 / 3 , 3 / 4 , 2 / 5 и 3 / 8 .Это значит, что надо найти четыре таких числа (х, у, z, t ), отношения которых были бы равны соответствующим отношениям данных чисел, т. е.

а сумма x + y + z + t = 968.

Заменим отношения дробных чисел отношениями целых чисел, для чего приведём эти дроби к общему знаменателю:

Отбрасывая общий знаменатель 40, получим: 60: 30: 16: 15. Вычислим последовательно каждое из искомых чисел:

§ 139. Деление числа на части обратно пропорционально данным числам.

Теперь перейдём к решению задач, в которых придётся некоторое число делить обратно пропорционально данным числам.

Задача. В двух полевых бригадах 70 колхозников. Каждой бригаде поручено обработать одинаковые участки. Сколько колхозников в каждой бригаде, если первая бригада выполнила работу в 6 дней, а вторая - в 8 дней? (Предполагается, что все колхозники работают с одинаковой производительностью труда.)

Очевидно, мы не имеем права делить число колхозников на две части пропорционально времени, которое каждая бригада употребила на работу, так как та бригада, которая быстрее окончила свою работу, была, по-видимому, более многочисленная, чем другая. Поэтому решать эту задачу так же, как мы решали предыдущие задачи, нельзя.

Будем рассуждать следующим образом. Первая бригада колхозников окончила свою работу в 6 дней; значит, в один день она выполняла 1 / 6 часть всей работы; вторая бригада окончила такую же работу в 8 дней, значит в один день она выполняла 1 / 8 всей работы.

Сравним теперь работу, которую выполняет в день первая бригаду с работой, выполняемой в день второй бригадой. Эти работы выражаются дробями 1 / 6 и 1 / 8 . Первая дробь больше второй. Значит, первая бригада в один день может делать больше, чем вторая. А так как все колхозники работают с одинаковой производительностью труда, то, значит, в первой бригаде больше колхозников, чем во второй. Таким образом, число колхозников в каждой бригаде пропорционально той работе, которую каждая бригада может выполнить. Значит, данное в задаче число 70 мы должны разделить на две части пропорционально числам: 1 / 6 и 1 / 8 . С задачами такого типа мы уже знакомы. Приведя дроби 1 / 6 и 1 / 8 к общему знаменателю, мы найдём числа, пропорционально которым следует разделить число 70:

т. е. число 70 нужно разделить на две части пропорционально числам 4 и 3. Обозначим число колхозников первой бригады буквой х , а второй - буквой у и вычислим:

Итак, в первой бригаде было 40 человек, а во второй 30. Рассмотрим теперь метод решения этой задачи. В условие задачи входят три числа: 70 (человек), 6 (дней) и 8 (дней). В процессе решения мы ввели еще два числа: 1 / 6 и 1 / 8 , и пропорционально этим дробям разделили число 70 на две части. Очевидно, что число 6 и число 1 / 6 взаимно обратны. Так же взаимно сбратны числа 8 и 1 / 8 .

Для решения задачи требуется разделить 70 рабочих на две неравные бригады, исходя из количества времени (дней), затраченного ими на работу. Это время выражается числами 6 (дней) и 8 (дней). Вместо этих двух чисел мы берём обратные им числа 1 / 6 и 1 / 8 и пропорционально им делим число 70.

Такая замена сделана нами потому, что число работников не прямо, а обратно пропорционально времени, затраченному на работу. О такой задаче принято говорить, что в ней число 70 разделено на две части обратно пропорционально числам 6 и 8, т. е. в ней первая часть относится ко второй не как 6 к 8, а как 8 к 6.

Итак, чтобы разделить число на части обратно пропорционально данным числам, нужно это число разделить прямо пропорционально обратным числам.

Задача. Разделить 65 на три части обратно пропорционально числам: 2, 3, 4.

Мы теперь знаем, что разделить число на части обратно пропорционально нескольким числам - это значит разделить его на столько же частей прямо пропорционально обратным числам.

Напишем числа, обратные данным в задаче:

данные числа 2, 3, 4;

обратные числа 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 .

Пропорционально этим последним и нужно разделить число 65. Приведём дроби к общему знаменателю:

а потом освободимся от него:

Значит, число 65 нужно разделить на три части пропорционально числам 6: 4: 3.

Обозначим первую часть буквой х , вторую часть буквой у , третью часть буквой z . Тогда

В основе задач на пропорциональное деление лежат задачи на нахождение четвертого пропорционально. Поэтому к задачам на пропорциональное деление приступают после ознакомления с задачами на нахождение четвертого пропорционального.

К задачам на пропорциональное деление относятся следующие:

а). задачи на части или задачи, решаемые делением пропорционально ряду данных чисел;

б). Задачи на нахождение чисел по сумме и кратному отношению;

в). задачи, решаемые делением числа пропорционально нескольким рядам чисел.

Остановимся на рассмотрении задач первого типа.

"За два куска одинаковой ткани в 5 м и 7 м заплатили 36 рублей.. Сколько стоит каждый кусок ткани?"

Составим таблицу:

Устанавливая зависимость между данными и искомыми, обращаем внимание на то, что если ткань одна и та же, то ее цена одинакова и поэтому, чем больше метров в куске такой ткани, тем он дороже. Следовательно, второй кусок дороже первого. Однако сразу найти стоимость какого-либо куска ткани нельзя, так как не указана цена.

Чтобы узнать цену, нужно знать общую стоимость всей ткани - в условиях она указана – и общее число метров ткани в двух кусках. Это число можно найти, так как известны размеры первого и второго кусков. На основе этого анализа составляем план решения:

Найдем число метров ткани в двух кусках.

Узнаем цену 1 м ткани.

Вычислим стоимость первого куска ткани.

Вычислим стоимость второго куска ткани.

1). 5+7=12 (м) 2).36:12=3 (руб.) 3).3*5= 15 (руб.) 4).3*7=21 (руб.)

12 м ткани стоят 36 руб. 3 руб. стоит 1 м ткани 15 руб. стоит первый кусок ткани. 21 руб. стоит второй кусок ткани

Проверка решения задачи: 15+21 = 36. Стоимость всей ткани, полученная при решении, совпадает с числом, данным в условии.

Для проверки решения такой задачи можно использовать составление и решение обратной задачи. Следует иметь в виду, что обратная задача должна быть также задачей на пропорциональное деление.

§ 3. Задачи на нахождение чисел по двум разностям.

По степени сложности задачи на нахождение чисел по двум разностям относятся в разряд, следующий за задачами на пропорциональное деление. При решении задач указанного типа проводится сопоставление двух разностей, например разности в числе предметов и разности их стоимостей. Например:

“Мальчик купил 7 листов, а девочка 11 листов. Девочка заплатила на 12 коп. больше мальчика. Сколько заплатила за бумагу девочка и сколько мальчик?”

Краткий анализ условия и вопроса задачи позволит записать ее в виде таблицы:

Решая эту задачу, можно пойти по такому пути:

1) узнать, на сколько листов бумаги девочка купила больше, чем мальчик (11-7=4);

2). узнать цену листа бумаги (12:4=3);

3). найти, сколько заплатил за 7 листов мальчик (3*7=21);

4). сколько заплатила за 11 листов девочка (3*11=33).

При проверке узнают, на сколько копеек девочка заплатила больше, чем мальчик: 33-21=12, что совпадает с данным из условия.

Или составляют задачу, обратную данной. Обратная задача должна быть задачей того же типа.

Пропорция – равенство двух отношений: a/b = c/d (a, d – крайние члены пропорции; b, c – средние члены пропорции).

Основное свойство пропорции: ad = bc.

Две взаимно зависимых величины называютсяпропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным. Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности. Например, в пропорции 0,04/4 = 0,12/12 коэффициент пропорциональности равен k = 0,01.

Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной (во столько же раз) увеличивает (уменьшает) пропорционально и другую величину, то такие величины прямо пропорциональны. Примерами прямой пропорциональности являются зависимость пройденного пути от времени (при постоянной скорости), периметра квадрата от длинны его стороны. Если зависимость величин прямо пропорциональна, то их значения составляют пропорцию х 1 /х 2 = у 1 /у 2 .

Если две величины связаны между собой так, что увеличение (уменьшение) одной (во столько же раз) уменьшает (увеличивает) пропорционально и другую величину, то такие величины обратно пропорциональны. Пример обратной пропорциональности: зависимость скорости от времени (при постоянном значении пройденного пути), производительности труда от времени затраченного на выполнение определенной работы (при одинаковом объеме работы). Если зависимость величин обратно пропорциональна, то их значения составляют пропорцию х 1 /х 2 = у 2 /у 1 .

Решая задачи на пропорциональную зависимость, важно разбить решение на такие этапы :

1. Условие задачи записать в виде схемы.
2. Определить тип зависимости между величинами.
3. Прямо пропорциональная зависимость обозначается одинаково направленными стрелками. Обратно пропорциональная зависимость – стрелками противоположно направленными.
4. Обозначить неизвестное через х, записать пропорцию и найти неизвестный член.

Рассмотрим решение нескольких задач на пропорциональную зависимость.

Задача 1.

За некоторое время велосипедист проехал 5 км со скоростью 10 км/ч. Какое расстояние он проедет за то же время, увеличив свою скорость в полтора раза?

Решение.

При постоянном значении времени пройденный путь и скорость величины прямо пропорциональные. Поэтому с увеличением скорости в полтора раза, значение пути тоже увеличится в столько же раз.

Значит, он проедет 5 · 1,5 = 7,5 (км).

Ответ: 7,5 км.

Задача 2.

На некотором участке газопровода трубы длинной 4 м заменили на трубы длинной 5 м. Сколько нужно новых труб для замены 100 старых?

Решение.

Так как увеличение длинны труб приведет к уменьшению их количества на одном и том же участке газопровода, то зависимость обратно пропорциональная. Составим схему по условию.

Запишем пропорцию: 4/5 = х/100.

Откуда, х = (4 · 100)/5 = 80 (труб).

Ответ: 80 труб.

Как видим, если в условии задачи рассматриваются две величины, то решение достаточно простое, главное правильно определить вид зависимости. Но как быть, если рассматривается зависимость между тремя величинами?

Задача 3.

За 5 дней 3 маляра окрашивают 60 окон. За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

Решение.

Примем количество рабочих за постоянную величину (то есть работу выполняют постоянно 3 маляра) и рассмотрим зависимость между двумя величинами. Так как для покраски меньшего числа окон потребуется меньше дней при одном и том же количестве рабочих, то зависимость прямая.

Запишем пропорцию: 5/х = 60/48.

Откуда, х = (5 · 48)/60 = 4 (дня) – за столько дней покрасят 48 окон 3 маляра.

Для того, чтобы найти за сколько дней покрасят эти же 48 окон 2 маляра, составим таблицу, учитывая что постоянной величиной есть количество окон . Так как для меньшего числа рабочих потребуется больше дней для выполнения одного и того же задания, то зависимость обратная.

Пропорция будет такой: 4/х = 2/3.

Откуда, х = (4 · 3)/2 = 6 (дней) – за столько дней покрасят 48 окон 2 маляра.

Ответ: 6 дней.

Потребность разделить величину или число в данном отношении часто возникает в практической жизни человека, например, во время приготовления блюд, разделения прибыли между партнерами по бизнесу и т.п. Поэтому важно владеть навыками решения задач на пропорциональное деление. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 4.

Три компаньона вложили в организацию предприятия соответственно 280, 320 и 360 долларов. Прибыль, которую они получили, составила 2400 долларов. Сколько денег из прибыли получить каждый компаньон, если прибыль распределяется пропорционально вкладу каждого?

Решение.

Обозначим части прибыли, которые они должны получить, соответственно:

а: в: с = 280: 320: 360.

Упростим отношение:

а: в: с = 280: 320: 360 = 28: 32: 36 = 7: 8: 9.

Так как величины пропорциональны, то пусть х – коэффициент пропорциональности (одна часть прибыли). Тогда, а = 7х, в = 8х, с = 9х. Сумма частей должна равняться прибыли, тогда уравнение будет иметь вид:

7х + 8х + 9х = 2400.

Откуда х = 100 (дол). Следовательно, первый компаньон должен получить из прибыли:

7 · 100 = 700 (дол), второй 8 · 100 = 800 (дол), а третий 9 · 100 = 900 (дол).

Ответ: 700, 800, 900.

Задача 5.

Периметр треугольника АВС равен 32,5 см. Найти стороны треугольника, если АВ относится к ВС как 3: 4, а ВС относится к АС как 2: 3.

Решение.

Трудность заключается в том, что дано отношение не трех сторон, а первой ко второй и второй к третьей. Рассмотрим эти отношения:

АВ: ВС = 3: 4
ВС: АС = 2: 3.

Уравняем количество частей стороны ВС в первом и втором равенствах. Для этого второе отношение умножим на 2. Получим,

АВ: ВС = 3: 4
ВС: АС = 4: 6.

Теперь можем записать отношение трех сторон АВ: ВС: АС = 3: 4: 6. Тогда АВ = 3х, ВС = 4х, АС = 6х, где х – коэффициент пропорциональности.

Решая уравнение 3х + 4х + 6х = 32,5, получаем, что х = 2,5 (см).

Следовательно, стороны треугольника: АВ = 3 · 2,5 = 7,5 (см); ВС = 4 · 2,5 = 10 (см); АС = 6 · 2,5 = 15 (см).

Ответ: 7,5; 10; 15.

Задачи на пропорциональную зависимость развивают логическое мышление, учат анализировать и находить связи между величинами, а задачи на пропорциональное деление имеют широкое практическое применение, поэтому умение решать и те и другие просто необходимо.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на пропорциональную зависимость?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

1. Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении), надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

2. Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части, прямо пропорциональные числам, обратным данным.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Отрезок длиной 15 см разделить в отношении Решение. см.

2. Число 27 разделить обратно пропорционально числам 4 и 5.

Решение. Числа, обратные данным, относятся как Получим

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

А. 1. Отрезок длиной разделили на четыре части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины этих частей.

2. Стороны треугольника, периметр которого пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны треугольника.

3. Число 196 разделите на части, пропорциональные числам:

4. Число 434 разделите на части, обратно пропорциональные числам: а) 15 и 16; б) 2, 3 и 5.

Б. 1. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячменем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей засеяно

Пропорциональное деление. Средние величины.

Цель

Решить задачи. Сделать выводы, ответив на вопросы.

Выполнение работы

Методические указания.

Работа рассчитана на 10 вариантов, номер варианта совпадает с последней цифрой порядкового номере в списке. Например, 1, 11, 21, 31 …выполняют 1 вариант, 2,12, 22 … - 2 вариант, и т.д.

Для получения зачета необходимо решить все задачи и сделать выводы, если работа не зачтена, требуется взять ее на доработку и сдать на проверку снова.

Задача 1. Число 2 500 000, разделить прямо пропорционально ряду чисел: 35, 15 и 10.

Решение: Правило: При делении числа на части пропорционально одному ряду величин следует разделить это число на сумму этих величин и полученное частное (коэффициент пропорциональности) умножить на каждую из них.

Разделим 2 500 000 руб. пропорционально ряду чисел:

35, 15 и 10.

найдем их сумму 35+15+10=60

найдем коэффициент пропорциональности (число делим на сумму)

найдем прибыль каждого:

• 41 667*35=1 458 000 руб.

  41 667*15=625 000 руб.

  41 667*10=417 000 руб.

Ответ: 1 458 000, 625 000, 417 000.

Задача 2. Число 680 разделить обратно пропорционально числам 0,5 0,75 и .

Решение:

Чтобы разделить число обратно пропорционально ряду чисел, нужно числа заменить обратными (перевернуть). И разделить прямо пропорционально новому ряду чисел.

Найдем числа обратные денным: 0,5 = - обратное 2,

0,75 -
- обратное , - обратное .

1) найдем сумму чисел:
,

2) найдем коэффициент пропорциональности:
.

3) найдем каждую часть

Ответ: 300, 200, 180.

Задача 3.

Дневная заработная плата трех рабочих бригады составила, 1000 руб, 1200 руб и 1250 руб. определите средний заработок по бригаде за 22 рабочих дня.

Решение: Среднее арифметическое:
, применяется в том случае, если показатели встречаются по одному разу. Х – средняя величина, х 1 , х 2 , х 3, … - показатели, на которых выводится средняя величина, n – число вариантов.

Найдем средний заработок за 1 день:
.

Найдем средний заработок за 22 дня. руб.

Ответ: 25 520.

Среднее арифметическое взвешенное: применяется тогда, когда показатели, из которых выводится среднее значение, встречаются неодинаковое число раз.

Т.е. Х – среднее арифметическое взвешенное, х 1 , х 2 , х 3 … - показатели, р 1 , р 2 , р 3, … - числа, показывающие, сколько раз повторяется каждый показатель.

Пример: При выполнении контрольной работы по математике были получены следующие результаты:

Оценка

Число повторений

Найдите средний бал за контрольную работу по математике.

.

Ответ: 3,17

Задача 4.. Чтобы сварить сироп, взяли 2кг сахара, 3,5 кг ягод и 4,5кг воды. Сколько процентов от массы сиропа составляет сахар?

Решение: Найдем массу сиропа: 2+3,5+4,5=10 кг. 10 кг – это 100%, 2 кг – это х%

Ответ: 20%.

Задачи для самостоятельного решения.

Вариант 1.

Задание 1. Число 580 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2, 0,2 и 0,7

Задание 2. Разделите число 800 обратно пропорционально числам 2, 0,2 и 0,4.

Задание 3. Купили 3 кг конфет по цене 300 рублей за килограмм, 5 кг - по 230 рублей; 6 кг - по 460 рублей и 8 к - по 160рублей определите среднюю стоимость килограмма конфет.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Хлеб теряет при остывании 4% массы в результате испарения воды. Сколько килограмм воды испарится при остывании 12т. Хлеба

Вариант 2.

Задание 1. Число 440 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 0,3; 0,2 и 0,6

Задание 2. Разделите число 790 обратно пропорционально числам: 5; 0,8 и 0,4.

Задание 3. Ателье закупили 20м ситца по цене 40 рублей за метр, 15 метров бязи по цене 60 рублей за метр, 12 метров фланели по цене 120 рублей за метр. Определите среднюю стоимость метра ткани.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Банк выплачивает 10% годовых. Какая сумма будет на счету через два года, если вкладчик вложил 10 000 рублей.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 3

Задание 1. Число 372 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 5, 0,4; 0,8

Задание 2. Разделите число2700 обратно пропорционально числам 2; 0,2 и 0,5

Задание 3. При выполнении контрольной работы были получены следующие результаты: оценку «5» получили трое учащихся, «4» – 12 человек; «3» - 20 человек, «2» - 3 человека. Найдите средний балл группы.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Стоимость покупки вместе с доставкой 23000 руб. причем стоимость доставки составляет 15% от стоимости товара. Найдите стоимость товара.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 4

Задание 1. Число 1564 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 4, 2, 0,8

Задание 1. Разделите число 462 обратно пропорционально числам: 2; 5; и 2,5

Задание 3. В аттестате ученика следующие результаты: шесть пятерок, две четверки и десять троек. Найдите средний балл аттестата.

Задание 4. Решите задачу на проценты: Цену билета в кинотеатре – 200 руб, повысили на 15%, но в связи с низкой посещаемостью новую цену снизили на 10%. На сколько рублей изменилась первоначальная цена

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 5.

Задание 1. Число 1140 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 3, 4 и 0,6

Задание2 Разделите число 600 обратно пропорционально числам: 2; 4; и 0,8

Задание 3. При испытании приборов в лаборатории, было установлено что прибор А работает без подзарядки 12 часов, прибор В – 11 часов, прибор С – 19 часов, прибор D – 8 часов, прибор F – 15 часов. Найдите среднюю продолжительность работы прибора.

Задание 4. Решите задачу на проценты: В первый день велосипедист проехал 32% пути, во второй в 1,5 раза больше чем в первый, а в третий оставшиеся 60 км. Найдите продолжительность маршрута.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 6.

Задание 1. Число 697 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 3, 0,7 и 0,4

Задание 2. Разделите число 864 обратно пропорционально числам: 2; 5 и 0,4

Задание 3. В бригаде 10 человек получают заработную плату 15000 рублей, 12 человек по 24000 рублей, 15 человек по 20000 рублей и 13 человек по 30000 рублей. Найдите средний заработок по бригаде.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 7

Задание 1. Число 2725 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 7, 0,9 и 3

Задание 2. Разделите число 325 обратно пропорционально числам: 8; 0,8 и 4

Задание 3 Ученик, засекая время которое он тратит на дорогу от дома до техникума, получил следующие результаты: понедельник - 24 минуты, вторник – 25 минут, среда - 23 минуты, четверг – 20 минут, пятница – 25 минут. Определите, сколько времени в среднем тратится на путь?

Задание 4. Решите задачу на проценты. Клиент взял в банке кредит 300 000 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 8.

Задание 1. Число 325 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2; 4 и 0,5

Задание 2. Разделите число 2280 обратно пропорционально числам: 2; 5 и 0,2

Задание 3. На оплату мобильной связи за месяц ушло: январь - 230 рублей; февраль – 200 рублей; март - 250 рублей; апрель – 200 рублей; май – 300 рублей; июнь – 600 рублей; июль – 100 рублей; август – 300 рублей; сентябрь – 220 рублей; октябрь – 200 рублей; ноябрь – 400 рублей; декабрь – 560 рублей. Определите сколько в среднем за месяц уходит на оплату мобильной связи

Задание 4. Решите задачу на проценты. Железнодорожный билет для взрослого стоит 840 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 18 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант9.

Задание 1. Число 732 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 4, 0,6 и 1,5

Задание 2. Разделите число 1045 обратно пропорционально числам: 8; 10 и 0,2

Задание 3. Ателье для пошива детской одежды закупили 30м ситца по цене 40 рублей за метр, 25 метров бязи по цене 60 рублей за метр, 40 метров фланели по цене 120 рублей за метр. Определите среднюю стоимость метра ткани.

Задание 4. Решите задачу на проценты. В городе N живет 100000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?

Вариант 10.

Задание 1. Число 936 разделите прямо пропорционально ряду чисел: 2, 2,5 и 0,7

Задание2. Разделите число 910 обратно пропорционально числам: 0,1; 2 и 0,4

Задание 3. В бригаде 35 человек получают заработную плату 25000 рублей, 12 человек по 22000 рублей, 35 человек по 20000 рублей и 18 человек по 30000 рублей. Найдите средний заработок по бригаде.

Задание 4. Решите задачу на проценты. Килограмм товара стоил 64 рубля. После снижения цены он стал стоить 60 рублей. На сколько процентов снижена цена?

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Что такое среднее арифметическое?

По какой формуле вычисляется среднее арифметическое взвешенное?

Как число разделить прямо пропорционально ряду чисел?

Как разделить число обратно пропорционально ряду чисел?

Какие три вида задач на проценты вы знаете?